Lema 4. A figura inversa de uma circunferência α que não passa pelo centro de
inversão O1, é uma circunferência α' que não passa por O1.
Demonstração. Seja δ(O1, r1) a circunferência de inversão e α a circunferência a ser invertida. Sejam A e B os pontos onde a reta s, que passa pelo ponto O1, intercepta α. Seja P um ponto de α. Sejam A', B' e P' os inversos dos pontos A, B e P. Pela definição de inversão O1A × O1A' = O1P × O1P'. Então,
O1A/O1P=O1P'/O1A'
Seja P ≠A, P ≠B. Sejam os triângulos O1AP e O1A'P'. Eles são semelhantes pelo critério de semelhança lado-ângulo-lado, uma vez que os lados correspondentes que formam o ângulo PO1A, que é comum, nos dois triângulos são proporcionais como mostra a expressão acima. Então, sejam O1AP = θ1 e O1BP = θ2. O ângulo θ1 é igual a soma dos ângulos internos opostos, ABP e APB. Como O1P'A0 = O1AP = θ1e O1P'B' = O1BP = θ2,
A' P' B'=PAO1-O1P' B'=θ1-θ2=APB.
Como os ângulos APB e A' P'B' são iguais, P'descreve a circunferência α'. A circunferência α'não passa por O1, pois pelo lema 3, a inversa da circunferência α' caso esta passe pelo centro de inversão é uma reta. Os inversos de A e de B pertencem à α'.
Para qualquer reta que passa pelo ponto O1 e intercepta a circunferência α nos pontos A e B a potência do ponto O1 é
O1xO1B=Pot(O1,α)
Seja A' o ponto inverso de A na circunferência α'. Pela definição de inversão,
O1AxO1A'=r1
2.
A divisão da última expressão pela expressão anterior resulta:
O1A'/O1B=r1
2/(Pot(O1,α)
Esse resultado mostra que enquanto B descreve a circunferência α, A' descreve a circunferência α'. Mostra também que como a razão r1
2/Pot(O1,α ) é constante, o centro de inversão O1 é também centro de homotetia dos pontos B e A'. Portanto, as circunferências α e α'são homotéticas pelo centro O1 e a razão r1
2/Pot(O1,α ).
Se a potência do ponto O1 for positiva, o ponto O1 é centro de homotetia direta. Considerando que δ e α não são concêntricas, se a potência do ponto O1 for negativa O1 é centro de homotetia inversa. Seja r2 o raio de α e r3 o raio de α'. A relação entre r2 e r3 é:
r3=r2 x| r1
2/Pot(O1,α) |
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