A transformação geométrica inversão: parte I

Neste capítulo é apresentado um resumo sobre a transformação geométrica inversão. Apresentamos o conceito de inversão até a inversão de retas. Boas referências para os materiais aqui apresentado são: (ALTSHILLER-COURT, 1952) e (JONHSON, 1960).



Seja a seguinte construção: dada uma circunferência δ_(o,r) e um ponto P externo a δ, constrói-se um segmento de reta tangente pelo ponto P à δ no ponto A. O ponto obtido pela intersecção da reta perpendicular ao segmento OP que passa por A, P', é chamado inverso do ponto P. Se o ponto P é interno à δ, mas P≠O, constrói-se um segmento de reta perpendicular à OP por P que intercepta δ nos pontos C e D. O ponto P', inverso de P, é obtido pela intersecção da reta tangente à δ no ponto C ou D com segmento OP.



Em ambos os casos, o ponto P é externo ou interno à δ. A relação entre P e P' pode ser descrita por semelhança de triângulos. Sejam OAP e OP' os triângulos formados no caso em que P é externo a δ. Como eles possuem um ângulo em comum e são retângulos, OP x OP'=(OA)².



Como OA = r, então OP x OP'=r². Sejam os triângulos formados, OPC e OCP', no caso em que P é interno a δ. Eles possuem um ângulo comum e são retângulos também, portanto OP x OP'=(OC)². Como OC = r, então OP x OP'=r².



Definição: Dada uma circunferência δ_(o,r), a transformação geométrica que leva um ponto P ao ponto P' como descrito na construção acima se chama inversão. Se P∈δ, então tome P'= P.



A circunferência a δ é chamada de circunferência de inversão e r² de potência de inversão. Se P' é o inverso de P, P e o inverso de P'. Isto é, (P' )'=P. Enquanto P se mantém no interior de δ, seu inverso está no exterior. Quanto mais próximo P esta de δ, mais próximo seu inverso de δ. Quando P se aproxima do centro de inversão, P' fica cada vez mais distante de O.



A inversão de uma circunferência resulta em outra circunferência ou uma reta. Isto depende da posição relativa da circunferência a ser invertida, em relação à circunferência de inversão.



Lema 1. A figura inversa de uma circunferência δ que passa pelo centro de inversão é uma reta.



Demonstração. Seja δ_( O1,r1), a circunferência de inversão e α_(O2,r2), a circunferência que passa pelo centro de inversão O1. Seja A≠O1 o ponto onde a reta O1O2 intercepta α. Pelo ponto A', inverso do ponto A, constrói-se uma reta t perpendicular a reta O1O2. Seja B≠O1 o ponto onde uma reta s, que passa pelo ponto O1, intercepta a circunferência α. Seja C o ponto onde a reta s intercepta a reta t. Note que o ponto B pode pertencer ser interno ou externo à circunferência δ.



Se a reta S≠O1O2, os triângulos formados, ABO1 e CA'O1, são semelhantes, pois o ângulo AO1B é comum aos dois triângulos e os ângulos O1A'B' e O1 BA são retos. Portanto,



O1B/O1A'=O1A/O1C



ou seja, O1C × O1B = r². Logo, o ponto C é o inverso do ponto B.



Se a reta s = O1O2, o ponto A coincide com o ponto B. O ponto C coincide com o ponto A'. Por isso, o ponto C é inverso do ponto B. Como B descreve a circunferência α, exceto B = O1, B' descreve a reta t.



Lema 2. A figura inversa de uma reta t que não passa pelo centro de inversão é uma circunferência que passa pelo centro de inversão.



Demonstração. Seja α_(O1,r1), a circunferência de inversão e t a reta que não passa pelo centro de inversão. Seja A o ponto de intersecção de uma reta s, que passa pelo ponto O1 e é perpendicular à reta t. Seja A' o inverso do ponto A. Seja u ≠ s uma reta por O1 que intercepta a reta t num ponto B. Seja B' o inverso do ponto B. Seja α a circunferência que passa pelos pontos A', B' e O1. Seja v uma reta que passa por O1 e intercepta α no ponto C e a reta t no ponto D. Se a reta v ≠ u, os triângulos formados, A'CO1 e ADO1 são semelhantes, pois o ângulo AO1C é comum aos dois triângulos e os ângulos CA'O1 e ADO1 são retos. Portanto,



O1A/O1D=O1C/O1A'



ou seja, O1D × O1C = r². Logo, o ponto C é o inverso do ponto D.



Se as retas v = u, o ponto C coincide com o ponto B e o ponto C' coincide com o ponto B'. Se as retas v = s, o ponto A coincide com o ponto C e o ponto C'coincide com o ponto A'.



Como o ponto C descreve a reta t o ponto C' = D descreve a circunferência α, exceto D = O1.



Lema 3. A inversa de uma reta t que passa pelo centro de inversão coincide com sua inversa t'.



Demonstração. Seja α_(O1,r1), a circunferência de inversão e t a reta a ser invertida. Seja A ≠O1 um ponto da reta t e A' seu inverso. Como a reta t passa pelo centro de inversão O1, o ponto A'está sobre t. Uma vez que o ponto A descreve a reta t A' descreve a reta t'que coincide com a reta t.




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