Três pontos: construir circunferências que passam por três pontos A, B e C.
Sejam três pontos não alinhados A, B e C. Escolhem-se um deles como centro de inversão, por exemplo o ponto A. Seja δ a circunferência de inversão. Sejam B' e C'os inversos dos pontos B e C. As circunferências procuradas, que passam pelos pontos A, B e C são transformadas nas retas que passam pelos pontos B' e C'. Como dois pontos definem uma única reta, invertendo-se de volta, obtém-se a circunferência procurada que passa pelos pontos A, B e C. Note que independentemente do ponto escolhido como centro de inversão, a solução do problema é a mesma.
Dois pontos e uma reta: Construir circunferências que passam pelos pontos A e B e, são tangentes a uma reta r.
Sejam uma reta r e dois pontos A e B, na condição em que nenhum delas está sobre a reta r. Seja δ a circunferência de inversão e o ponto A o centro de inversão. Invertemos os pontos e a reta. O inverso do ponto A não está definido. O inverso do ponto B é o ponto B' enquanto que o inverso da reta r será uma circunferência r' que passa pelo centro de inversão, ponto A. Com isso, o problema se reduziu a construção de retas que passam pelo ponto B' e são tangentes a circunferência r'. Como são possíveis traçar apenas duas retas tangentes pelo ponto B' à circunferência r', o problema tem duas soluções.
Sejam C e D os pontos onde as retas s e t que passam pelo ponto B' tangenciam r'. Os inversos dos pontos C e D, C' e D', são os pontos de tangência procurados. Note que a solução do problema é grandemente facilitada quando a circunferencia de inversão δ passa pelo ponto B. Desse modo, o ponto B' pertence a circunferência δ=δ'. Note também que inversos dos pontos C e D, C' e D', são obtidos como resultado das intersecções das retas AC e AD com a reta r. Com isso, as construções geométricas que que deveriam ser feitas para obtenção dos pontos C' e D' são economizadas.
Duas retas e um ponto
Problema 3. Construir circunferências que passam pelo ponto A e são tangentes a duas retas re s.
Sejam o ponto A e as retas r e s, na situação em que o ponto não está sobre nenhuma das retas. Seja δ a circunferência de inversão e A o centro de inversão. Invertemos as retas e o ponto. Os inversos das reras r e s são circunferências r' e s' que passam pelo centro de inversão. Com isso, o problema se reduziu a construção das retas tangentes às circunferências r' e s'. Uma vez que as circunferências r' e s' passam pelo centro de inversão, elas podem ser tangentes ou secantes. Em ambos os casos, é possível construir apenas duas retas tangentes a elas em pontos distintos. Logo, o problema admite duas soluções. Se forem tangentes, a tangente no ponto em comun tem como inversa outra reta e, portanto esta não é solução do problema.
Sejam u e v as retas tangentes às circunferências r' e s' respectivamente nos pontos C, D, E e F. Os inversos C', D', E' e F' são os pontos de tangência procurados. Note que os inversos C', D', E' e F' são obtidos como resultado das intersecções das retas AB e AC com a reta r e das intersecções das retas AD e AE com a reta s. Com isso, ecomizam-se algumas das construções geométricas necessárias para a obtenção dos inversos dos pontos C, D, E e F. O modo de obtenção das soluções no caso em que as retas r e s são paralelas é análogo.
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