Análise Combinatória:
• É o ramo que se preocupa com as técnicas de contagem dos possíveis agrupamentos dos elementos de um determinado conjunto.
•
Fatorial: consiste no produto dos números naturais em ordem decrescente a partir de um número considerado.
Exemplo:
n! = produto dos naturais 0< números 0! =1
• Princípio fundamental da contagem (PFC):
Consiste no produto das possibilidades de ocorrência em etapas sucessivas e independentes. Graficamente é representada por intermédio de uma árvore de possibilidades.
• Permutação: é a obtenção do número de agrupamentos em que todos os elementos são usados, sendo que nos diferentes conjuntos só haverá distinção em relação a sua ordem.
Pn = n!
Pn= 1x2x3x4x5x6x... x n
• Permutação com elementos repetidos: deverá haver a divisão dos elementos que se repetem,
considerando a permutação desses.
Exemplo: Repetindo-se 3 vezes ou n vezes, divide-se o fator por fatorial de 3 ou fatorial de n, devemos lembrar que essas operações são muito comuns na análise do número de anagramas que determinada palavra pode formar.
• Arranjos: são agrupamentos formados por intermédio de sucessões de k elementos de um conjunto com n elementos distintos.
An,k = n ! / (n-k) !
Representamos os arranjos entre parênteses, porque a ordem é relevante.
• Combinações : são os conjuntos de k elementos tirados de n elementos de um conjunto inicial (a ordem dos termos é irrelevante). São representados entre chaves.
Cn,k= n! / k! (n-k) !
Ou
Cn,k= An,k / k!
• Binômio de Newton:
1. Número
Binomial: A combinação de n elementos tomados k a k pode ser considerado um número binomial.Representado por: (n / k) = número binomial de
numerador n e denominador k ou n sobre k, a conta é feita de forma equivalente ‘a combinação.
2. Número binomial complementar :São números de numerador comum , cuja soma dos denominadores é correspondente a esse numerador.
3. Números binomiais equivalentes: São equivalentes aqueles que possuem o mesmo numerador e denominador ou os números binomiais classificados como complementares.
4. Triângulo de Pascal: os números binomiais podem ser organizados de modo a formarem linhas e colunas. Cada linha é composta de números , elementos com mesmo numerador.Enquanto cada coluna é composta por termos de mesmo denominador.Cada linha começa e termina por 1.
1
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
5. Regra de Stifel: (n /k ) + (n/k+1) = (n+1/ k+1)
6. Binômio de Newton: expresso pela expressão (a + b)^n = a mais b elevado a n.O desenvolvimento desse binômio é feito da seguinte forma. Usa-se como coeficientes binomiais os números expressos pelo triângulo de Pascal , considerando a linha em que o valor de n é apresentada no segundo termo da esquerda para a direita.
7. Encontrando um termo do binômio :
T(k+1) = (n /k) x{n-k}y{k}
Obs.: o que se encontra entre chaves representa uma potenciação.
•
Probabilidade: é a medida da possibilidade de ocorrência de determinado evento.
Espaço amostral: são todos os resultados os resultados possíveis de um determinado experimento.
Evento: é a ocorrência, um dos resultados possíveis.
P= n (E) / n(A)
E= número de eventos favoráveis.
A=número de eventos possíveis.
P=0: evento impossível.
P=1: evento possível ou certo.
P(
ocorrer o evento desejado) + P (não ocorrer) = 1
*Exemplo: Lançando-se dois dados, qual a probabilidade de ocorrer a face com 5 pontos em pelo menos um dos dados?
P = 1 – 5/6 x 5/6P=11/36
Resolve-se por probabilidade complementar.
1. Adição de probabilidades:
• P (A U B) = P (A) + P (B) – P (A interseção B)
2. Probabilidade condicional: Corresponde ‘a probabilidade de ocorrer um evento, considerando a já ocorrência de outro.
P(B/ A) = P (A interseção B) / P(A)
P(B /A) lê-se probabilidade de B ocorrer considerando que o evento A já foi verificado.
*Exemplo: encontrar a probabilidade de se retirar o número 2 em 10 bolas numeradas de 1 a 10, considerando que o número retirado é par.
3. Eventos independentes:
P (A interseção B) = P(A). P (B)
Não há elementos presentes em ambos os grupos.
(multiplica) “e” = eventos sucessivos e exclusivos.
(soma) “ou” = eventos simultâneos, havendo alternância por exclusão.
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