Problemas de
tangências aparecem pela primeira vez no livro IV da obra Elementos de Euclides de Alexandria (325 a.C.- 265 a.C.). Nele, o autor apresenta e resolve dois problemas: construir uma circunferência que passa por três
pontos e, como construir uma circunferências
tangentes a três retas. Este problema foi posteriormente generalizado por Apolônio de Perga (262 a.C.-190 a.C.) para a construção de circunferências tangentes a arranjos formados por três elementos que podem ser individualmente pontos,
retas e circunferências. Deu-se assim origem aos dez casos do problema.
1- três pontos;
2- três retas;
3- dois pontos e uma reta;
4- duas retas e um ponto;
5- dois pontos e uma circunferência;
6- duas circunferências e um ponto;
7- duas retas e uma circunferência;
8- duas circunferências e uma reta;
9- uma circunferência, um
Ponto e uma reta;
10- três circunferências.
O mais difícil dos casos é o décimo pois dependendo do arranjo das três circunferências são possíveis 8 soluções. A obra de Apolônio na qual foram publicadas as soluções destes problemas, Tangências, perdeu-se. As informações que se têm sobre sua existência e autoria são baseadas no trabalho Enciclopédia de Pappus de Alexandria (290 a.C.-350 a.C.). Exceto tentativas de reconstrução do trabalho Tangências por estudiosos árabes, que se supõem terem sido feitas, o problema de Apolônio esteve esquecido até o período histórico chamado Renascimento, quando François Viète (1540-1603) propôs ao matemático Belga Adrianus Romanus (1561-1615), o décimo caso do problema. Romanus resolveu o problema utilizando seções cônicas. Os centros da circunferências que são tangentes às três circunferências dadas são encontrados como resultado da intersecção entre ramos de hipérboles. Como a hipérbole é uma curva que não pode ser construída com régua e compasso, Viète não ficou satisfeito com essa solução e, em 1600 publicou o trabalho L'Apollonius Français que contém soluções para os dez casos do problema juntamente com a demonstração de que não é possível construir com régua e compasso a solução de Romanus.
Posteriormente, estudiosos como Rene Descartes e Isaac Newton estudaram este problema e deram suas contribuições. Rene Descartes estudou o décimo caso no qual as três circunferências são mutualmente tangentes. Em 1643 numa carta à princesa Elizabeth da Bohemia, ele apresentou uma equação que expressa a relação entre as curvaturas das quatro circunferências, cada uma delas tangentes as outras três. Esse método de solução tem como principal dificuldade a manipulação de expressões algébricas com base em um sistema de coordenadas. Isaac Newton no trabalho Principia mostrou, assim como Viète, que não é possível construir graficamente as hipérboles da solução dada por Romanus. No seu método, a interseção das hipérboles é substituída pela interseção de uma circunferência e uma reta.
Com a evolução da Geometria Analítica, problemas geométricos passaram cada vez mais a serem tratados por métodos analíticos/algébricos enquanto o tratamento gráfico/sintético ia sendo deixado de lado até que Gaspard Monge apresenta um novo repertório de elementos teóricos para o circunferência. A teoria dos pólos e polares. Estes elementos teóricos oferecem novas possibilidades para o tratamento do problema de Apolônio e iniciaram o processo de revitalização dos métodos gráficos/sintéticos.
Jean Victor Poncelet em 1811, ainda estudante, encontrou uma solução para o problema. Outro estudante famoso que também estudo este problema foi Augustin L. Cauchy. Mais tarde, Lazare Carnot formulou também uma solução para o problema que mais tarde foi simplificada e completada por Carl F. Gauss, outro estudante famoso.
Uma das metas que os estudiosos tinham era encontrar um método direto para resolver o problema, sem o uso de transformações geométricas e aplicável a todos os casos. A primeira solução baseada num método direto é devida a Joseph Diaz Gergonne, a qual é também conhecida como solução de Gergonne e Boblelieur que preconizou alguns aspectos utilizados por Gergonne. Jean Victor Poncelet em 1822 também encontrou uma solução direta para o problema. Esta solução foi posteriormente revista por Maurice Fouché em 1892 e a ela acrescentou o conceito de circunferências isogonais e uma discussão sobre o número de soluções em termos das posições relativas das circunferências iniciais.
A primeira solução para o problema de Apolônio que utiliza inversões é devida a Jacob Steiner. O matemático dinamarquês Julius Petersen também formulou uma solução na qual é utilizada a inversão.
Èmile Lemoine comparou várias soluções dada a este problema do ponto de vista da simplicidade e exatidão das construções. Ele coloca em primeiro lugar a solução dada por M. Mannhein em1885 e em segundo lugar as soluções dadas respectivamente por François Viète e por M. Fouché. Mas não deixa de mencionar do ponto de vista do traçado gráfico, a solução elegante de Gergonne e Bobillier. Outras soluções foram formuladas por M.Gérard por volta do ano de 1897 e por M.R. Bricard por volta de 1898 utilizando-se de um conceito conhecido como círculos de Laguerre.
Ainda no século XVII, Pierre de Fermat propôs o problema de se construir uma esfera tangente a outras quatro esferas. Um dos primeiros estudiosos a dar atenção a este problema foi Lazare Carnot em 1803. Também Pierre Dupin em 1831, Jean Hachete em 1808 e Jacques Français em 1809. Embora Monge tenha dado vários exemplos do emprego das projeções na demonstração das propriedades das figuras em três dimensões e lançar as bases para os estudos das transformações geométricas, não se conhece solução gráfica para este problema. A solução analítica foi dada por Gergonne em 1875.
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