FUNÇÕES INVERSAS Em linguagem comum, o termo " inversão" transmite a idéia de uma reversão. Por exemplo, em meteorologia, a inversão da temperatura é uma reversão nas propriedades usuais da temperatura de camadas de ar; em música, uma inversão é um tema recorrente que usa as mesmas notas na ordem reversa. Em matemática, o termo
inversa é usado para descrever funções que são reversas uma da outra, no sentido que cada uma desfaz o
efeito da outra.
A idéia de resolver uma equação
y = f (
x) para
x com uma função de
y, digamos
x =
g(
y), é uma das idéias mais importantes da matemática. Às vezes, resolver esta equação é um processo simples; por
exemplo usando álgebra básica, a equação
y = f (
x)
pode ser resolvida para
x como uma função de
y:
x = g (
y)
A primeira equação é melhor para
calcular y se
x for conhecido, e a segunda é melhor para calcular
x se
y for conhecido
O interesse fundamental é identificar relações que possam existir entre as funções
f e
g,
quando uma função
y=f(
x) for expressa como
x = g(
y), ou ao contrário. Por exemplo, consideremos as funções e discutidas acima. Quando funções forem compostas em qualquer ordem, uma cancela o efeito da outra significando que
A primeira dessas equações
estabelece que cada saída de uma composição
g(
f(
x)) é igual à entrada, e a segunda estabelece que cada saída da composição
f(
g(
y)) é igual à entrada. Os pares de funções com essas duas propriedades são tão importantes que há uma terminologia específica para elas.
Se as funções
f e
g satisfazem as duas condições
g(
f(
x)) =
x para todo
x no domínio de
f f(
g(
y)) =
y para todo
y no domínio de
g então, dizemos que
f e
g são
funções inversas. Além disso, chamamos
f uma INVERSA de g e
g uma inversa de f. Exemplo Confirme cada um dos seguintes itens.
(a) A inversa de
(b) A inversa de
Solução (a). Solução (b). OBSERVAÇÃO. O resultado no exemplo deve fazer sentido intuitivamente para você, uma vez que as operações de
multiplicar por 2 e multiplicar por em qualquer ordem cancelam uma o efeito da outra, da mesma que as operações de elevar ao cubo e extrair a raiz cúbica.o
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